Связанные волны в замедляющих системах

В электродинамике СВЧ при рассмотрении линий передачи обычно от волноводных линий стараются перейти к эквивалентным двухпроводным линиям передачи. Поэтому мы сразу приступим к рассмотрению волн в двухпроводной линии передачи.

Уравнение однородной линии передачи в виде нормальных волн

Рассмотрим четырехполюсник с погонными параметрами: R, L, C, G. Согласно правилам Кирхгофа:

$\begin{cases} -U+IR\Delta z +L\Delta z\frac{\partial I}{\partial t}+U+\Delta U=0; \\ I-C\Delta z\frac{\partial U}{\partial t}-UG\Delta z-I-\Delta I=0. \end{cases}$

Разделим оба уравнения на $\Delta z \to 0$ и предположим, что в замедляющей структуре нет потерь (R=G=0). Получим:

$\pm \begin{cases} \frac{\partial U}{\partial z}=-L\frac{\partial I}{\partial t}\\ \frac{\partial I}{\partial z}=-C\frac{\partial U}{\partial t} \; |*Z_0=\sqrt{L/C} \end{cases}$

Имеем

$\frac{\partial }{\partial z}(U\pm Z_0I)=\mp \frac{\partial } {\partial z}(U\pm Z_0I)\sqrt{LC}.$

Введём обозначение $b_{\pm}(z,t)=K(U\pm Z_0I)$ — нормальные волны, где постоянная К выбирается так, что

$\bar{P}=\bar{U}\bar{I}=(\bar{b_+})^2-(\bar{b_-})^2.$

$\Rightarrow \; K=1/2\sqrt{Z_0}$ , тогда можно записать нормальные волны как

$b_{\pm}(z,t)=\frac{1}{2\sqrt{Z_0}}(U\pm Z_0I).$

В введённых обозначениях система примет вид:

$\frac{\partial }{\partial z}b_{\pm}(z,t)=\mp \sqrt{LC}\frac{\partial } {\partial t} b_{\pm}(z,t).$

Сделаем разделение пространственной и временной координаты:

$b_{\pm}(z,t)=\dot{a_{\pm}}(z)e^{i\omega t}+\dot{a_{\pm}}^*(z)e^{-i \omega t},$

где $\dot{a_{\pm}}(z)=\frac{1}{4\sqrt{Z_0}}(U\pm Z_0I), U=Re(\dot{U} e^{i\omega t}), I=Re(\dot{I}e^{i\omega t}), \; \omega$ — произвольная константа (имеющая смысл частоты).
Система перепишется в виде:

$\begin{cases} \frac{\partial }{\partial z}\dot{a_{\pm}}(z)=\mp i\beta\dot{a_{\pm}} (z);\\ \frac{\partial }{\partial z}\dot{a_{\pm}}^*(z)=\pm i\beta \dot{a_{\pm}}^*(z). \end{cases}$

Решение системы будем искать в виде $\dot{a_{\pm}}(z)=\dot{a_{\pm}}(0)e^{ \mp i\beta z},$ тогда

$b_{\pm}(z,t)=\dot{a_{\pm}}(0)e^{i(\omega t \mp \beta z)}+ \dot{a_{\pm}}^*(0)e^{-i(\omega t \mp \beta z)},$

где $b_{+}(z,t)$ --- прямая волна (вдоль оси z), $b_{-}(z,t)$ — обратная, $\beta = \omega\sqrt{LC}$ — постоянная распространения (волновое число).
Фазовая и групповая скорости запишутся соответственно:

$v_f=\pm \frac{\omega}{\beta}=\pm\frac{1}{\sqrt{LC}},$ $v_{gr}=\pm \frac{d\omega}{d\beta}=\pm \left[ \frac{\partial \frac{\omega}{\beta}}{\partial\omega}\right]^{-1}= \pm \left[\frac{1-\beta \frac{\partial v_f}{\partial \omega}}{v_f} \right]^{-1}.$

Предоставляем читателям самим убедиться, что среднюю мощность $\bar{P}= (\bar{b_+})^2-(\bar{b_-})^2$ можно выразить следующим образом: $\bar{P}=2*(|a_+(0)|^2+|a_-(0)|^2) \; \Rightarrow$

$\frac{d \bar{P}}{d z}=0.$

Уравнение связанных волн для замедляющей структуры. Направленный ответвитель

Введём некоторые предположения (соответствующие геометрии рассматриваемой задачи):

волны распространяются без потерь и слабо связаны друг с другом;
в каждой структуре возбуждается только одна из мод (прямая или обратная), тогда $\bar{P} \approx 2*(|a_+(z)|^2 \pm |a_-(z)|^2)$ ;
коэффициенты связи на ед. длины $c_{12}, c_{21}$ известны и не зависят от z;
волноводы близки по размерам ( $\beta_1 \approx \beta_2$ ).

Тогда система для данного случая запишется в виде:

$\begin{cases} \frac{da_1}{dt}=-i\beta_1a_1+c_{12}a_2;\\ \frac{da_2}{dt}=-i\beta_2a_2+c_{21}a_1. \end{cases}$

Из условия $\frac{d \bar{P}}{d z}=0: \frac{d}{dz}(a_1a_1^* \pm a_2a_2^*)=0$ легко можно получить связь для коэффициентов связи:

$\begin{cases} c_{12}=\mp c_{21}^*;\\ c_{12}^*=\mp c_{21}. \end{cases}$

Решение ищем в виде $\sim \exp(\gamma z)$ :

$\left| \begin{array}{cc} -i\beta_1-\gamma & c_{12}\\ c_{21} & -i\beta_2-\gamma \end{array}\right|=0;$

откуда нетрудно получить

$\gamma_{1,2}=-i\frac{\beta_1+\beta_2}{2} \pm \sqrt{\mp |c_{12}|^2 - \left(\frac{\beta_1-\beta_2}{2} \right)^2},$ $a_1(z)=d_1e^{\gamma_1z}+d_2e^{\gamma_2z}.$

Направленный ответвитель для пассивной связи волн

Волны распространяются в одном направлении, $a_1(0), a_2(0)$ — считаются известными.
Введём следующие обозначения:

$\gamma_{1,2} = -i(\beta_a \pm \beta_b), \; \beta_b = \sqrt{|c_{12}|^2+\beta_d^2};$ $\beta_a=\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}, \; \beta_d=\frac{\beta_1 - \beta_2}{2}.$

Тогда

$\begin{cases} a_1(z)=d_1e^{\gamma_1z}+d_2e^{\gamma_2z}; \\ a_2(z)=\frac{1}{c_{12}}[\gamma_1d_1e^{\gamma_1z}+\gamma_2d_2e^{\gamma_2z} +i\beta_1(d_1e^{\gamma_1z}+d_2e^{\gamma_2z}). \end{cases}$

Подставляем ГУ

$\begin{cases} a_1(0)=d_1+d_2; \\ a_2(0)=\frac{1}{c_{12}}[\gamma_1d_1+\gamma_2d_2 +i\beta_1(d_1+d_2); \end{cases}$

откуда

$\begin{cases} d_1=\frac{c_{12}a_2(0)-a_1(0)(i\beta_1+\gamma_2)}{\gamma_1-\gamma_2}; \\ d_2=a_1(0)-d_1. \end{cases}$

Таким образом, получаем

$a_1(z)=d_1e^{\gamma_1z}+d_2e^{\gamma_2z} = d_1 e^{-iz(\beta_a+\beta_b)}+d_2e^{-iz(\beta_a-\beta_b)}= e^{-i\beta_az}[(d_1+d_2)\cos(\beta_bz)+i(d_2-d_1)\sin(\beta_bz)];$

Теперь немного преобразуем данное выражение

$d_2-d_1=a_1(0)-\frac{i}{\beta_b}(c_{12}a_2(0)-a_1(0) (i\beta_1+\gamma_2)$ $i\gamma_2 = \beta_a - \beta_b$ $\beta_1 - \beta_a = \beta_d$ $\Rightarrow \; a_1(z)=e^{-i\beta_az}[a_1(0)(\cos(\beta_bz)- i\frac{\beta_d}{\beta_b}\sin(\beta_bz))-\frac{ic_{12}}{\beta_b} a_2(0)*i\sin(\beta_bz)]$

Окончательно получаем

$a_1(z)=e^{-i\beta_az}[a_1(0)(\cos(\beta_bz)- i\frac{\beta_d}{\beta_b}\sin(\beta_bz))+a_2(0)\frac{c_{12}} {\beta_b}\sin(\beta_bz)]$

Рассмотрим ГУ $a_2(0) = 0$ , тогда:

$P_1(z) = 2a_1(z)a_1^*(z)= \cos^2(\beta_bz)+\left( \frac{\beta_d}{\beta_b} \right)^2\sin^2(\beta_bz)= \cos^2(\beta_bz)+\frac{\beta_b^2-|c_{12}|^2}{\beta_b^2} \sin^2(\beta_bz);$ $P_1(z) =1-F\sin^2(\beta_bz);$ $P_2(z) =1 - P_1(z),$

где F — коэффициент передачи, показывающий максимальную величину, на которую можно разделить мощность при передаче из одного волновода в другой.

Направленный ответвитель для активной связи волн

В этом случае волны распространяются в разных направлениях.
Аналогично предыдущему пункту можно показать справедливость следующих формул:

$\gamma_{1,2} = -i\beta_a \pm \beta_b, \; \beta_b = \sqrt{|c_{12}|^2-\beta_d^2};$

ГУ: $a_2(L)=0$

$P_1(z) - P_2(z) = const,$ $P_1(z)=\frac{1+F\sinh^2(\beta_b(z-L))}{1+F\sinh^2(\beta_bL)}.$