Нормальные волны в электронных пучках

Для полного описания эл-маг волн в электронном пучке необходимо записать уравнения Максвелла, закон сохранения заряда и 2-й закон Ньютона:

$\begin{cases} rot\vec{H}=\vec{j}+\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t};\\ rot\vec{E}=-\mu_0\frac{\partial \vec{H}}{\partial t};\\ div\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0};\\ div\vec{H}=0;\\ div\vec{j}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0;\\ \vec{j}=\rho\vec{v};\\ \frac{d \vec{v}}{d t}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+ \frac{\partial \vec{v}}{\partial x}v_x+...=\frac{e}{m}(\vec{E}+ [\vec{v},\vec{B}]). \end{cases}$

Для решения подобных задач существует два подхода — гидродинамическое и корпускулярное приближения.

Корпускулярное приближение в данном сллучае неприменимо, т.к. в данном приближении количество уравнений = количеству частиц в потоке ( $\sim 10^{23}$ ).

В гидродинамическом приближении поток предполагается однородным, а не состоящим из отдельных частиц.

! Предположим, что все переменные составляющие « постоянных компонент (усреднённых по времени), кроме того, произведением переменных компонент пренебрегаем — это есть суть приближения малого сигнала.

! Присутствует явление интерференции, т.е. $\forall \; \vec{a} (\vec{r},t)=\vec{a_0}(\vec{r})+\vec{a_1}(\vec{r})e^{i\omega t}$ .

Система распадается на 2 — пространственную:

$\begin{cases} rot\vec{H_0}=\vec{j_0};\\ rot\vec{E_0}=0;\\ div\vec{E_0}=\frac{\rho_0}{\epsilon_0};\\ div\vec{H_0}=0;\\ div\vec{j_0}=0;\\ \vec{j_0}=\rho_0\vec{v_0};\\ \frac{\partial \vec{v_0}}{\partial x}v_{x0}+...=\frac{e}{m}(\vec{E_0}+ [\vec{v_0},\vec{B_0}]). \end{cases}$

и временную:

$\begin{cases} rot\vec{H_1}=\vec{j_1}+i\omega\epsilon_0\vec{E_1};\\ rot\vec{E_1}=-\mu_0i\omega\vec{H_1}; \; (1)\\ div\vec{E_1}=\frac{\rho_1}{\epsilon_0};\\ div\vec{H_1}=0;\\ div\vec{j_1}=-i\omega\rho_1;\\ \vec{j_1}=\rho_0\vec{v_1}+\rho_1\vec{v_0};\\ i\omega\vec{v_1}+ \frac{\partial \vec{v_0}}{\partial x}v_{1x}+...=\frac{e}{m}(\vec{E_1}+ [\vec{v_1},\vec{B_0}]+[\vec{v_0},\vec{B_1}]). \; (2) \end{cases}$

Полагаем величины с 0-м индексом известными, таким образом, необходимо найти переменные составляющие.

Волны пространственного заряда в одномерном электронном потоке на участке дрейфа

Пусть имеется однородное постоянное бесконечное магнитное поле, направленное вдоль оси z. Отсюда следует, что $\forall \; e^-$ будут двигаться вдоль оси z: $\vec{v_0}||\vec{v_1}||\vec{B_0}$ , тогда (2) перепишется в виде

$i\omega\vec{v_1}+ \frac{\partial \vec{v_0}}{\partial z}v_{1z}+ \frac{\partial \vec{v_1}}{\partial z}v_{0z}=\frac{e}{m}\vec{E_1}.$

! Положим, что пучок бесконечен в плоскости x0y, т.е. все величины однородны в этой плоскости ( $\frac{\partial }{\partial x}= \frac{\partial }{\partial y}=0$ ).

Тогда $E_{1x},E_{1y},H_{1x},H_{1y}$ ведут себя так, как будто потока нет; $\Rightarrow \;$ уравнение (1) избыточно.

$0=j_{1z}+i\omega\epsilon_0E_{1z};$ $E_{1z}=\frac{i}{\omega\epsilon_0}j_{1z}.$

! Кроме того, полагаем, что пучок находится на участке дрейфа, т.е. все усреднённые по времени силы = 0 $\Rightarrow \;$ $j_0,\rho_0,v_0 = Const.$

Окончательно наша система примет следующую форму

$\begin{cases} \left(\frac{d}{dz}+i\frac{\omega}{v_{0z}}\right)v_{1z}= \frac{ie}{\omega\epsilon_0mv_{0z}}j_{1z}; \\ \left(\frac{d}{dz}+i\frac{\omega}{v_{0z}}\right)j_{1z}= i\frac{\omega\rho_0}{v_{0z}}v_{1z}. \end{cases}$

Для того, чтобы представить её в виде нормальных волн, введём некоторые обозначения: $U_1=\left|\frac{m}{e}\right|v_0v_1$ — кинетическое напряжение пучка; $\omega_p^2=\left|\frac{e}{m}\frac{\rho_0} {\epsilon_0}\right|$ — плазменная частота; $\beta_p=\frac{\omega_p} {v_{0z}}, \beta_e=\frac{\omega}{v_{0z}}$ — постоянные плазменных и электронных колебаний, $\omega$ --- частота, на которой рассматривается процесс,$ Z_0=\frac{2\beta_pU_0}{j_0\beta_e}$$ — характеристическое сопротивление электронного пучка.

С учётом переобозначений

$i\frac{\beta_p^2}{\beta_e}\frac{2U_1}{j_0}j_{1z}=E_{1z}; \; (3)$ $\pm\begin{cases} \left(\frac{d}{dz}+i\beta_e\right)U_1=i\beta_pZ_0 | *(-j_{1z})\\ \left(\frac{d}{dz}+i\beta_e\right)(-j_{1z})=i\frac{\beta_p}{Z_0}U_1 | *Z_0 \end{cases}$ $\left(\frac{d}{dz}+i\beta_e\right)(U_1\pm Z_0(-j_{1z})= \pm i\beta_p (U_1\pm Z_0(-j_{1z}).$

Аналогичным приёмом, использовавшимся в предыдущих лекциях, вводим $a_{\pm}=K(U_1\pm Z_0(-j_{1z})$ , где К определяется из условия:

$P=\frac{1}{2}Re(U_1(-j_{1z}))=2(|a_+|^2-|a_-|^2).$

Т.е.

$K=\frac{1}{4\sqrt{Z_0}}.$ $a_{\pm}=\frac{1}{4\sqrt{Z_0}}(U_1\pm Z_0(-j_{1z});$ $\left[\frac{d}{dz}+i(\beta_e\mp \beta_p)\right]a_{\pm}=0;$ $a_{\pm}=a_{\pm}(0)\exp[-i(\beta_e\mp \beta_p)z].$

Фазовую и групповую скорости предоставляем вдумчивому читателю найти самому. $a_+$ — быстрая волна пространственного заряда, $a_-$ — медленная.

При возбуждении только быстрых волн ( $a_-=0$ ) $U_1$ и $j_{1z}$ синхронны (процесс возможен при подаче энергии $U_1$ в систему). При возбуждении медленных волн — противофазны.

Нормальные волны простанственного заряда в цилиндрическом пучке на участке дрейфа

! В плоскости x0y поток имеет конечные размеры.\

Рассмотрим электронный поток радиуса b в трубке радиуса a. Система, описывающая поток, запишется точно также, как и в предыдущем пункте. Отличие состоит в том, что в данном случае нет однозначной связи между $j_{1z}$ и $E_{1z}$ .

! Предположим, что зависимость от расстояния выражается $\sim e^{-i\beta z}$ , где $\beta$ — постоянная распространения. Тогда имеют место следующие соотношения:

$j_1=\frac{\omega}{\beta}\rho;$ $j_1=\rho_0v_1+\rho_1v_0;$ $i(\omega v_1 - \beta v_0v_1) = \frac{e}{m}E_1.$

Откуда нетрудно получить связь между $j_{1z}$ и $E_{1z}$ :

$i\frac{(\beta_e-\beta)^2}{\beta_e}\frac{2U_1}{j_0}j_{1z}=E_{1z}.$

Внимательный читатель заметит, что похожая формула получалась для однородного потока (см. формулу (3)). Следовательно, дальнейшие выкладки будут аналогичными, если произвести замену в (3)

$\beta_p \to \beta_q=R\beta_p,$

где $R=\frac{\beta_e-\beta}{\beta_p}$ — коэффициент понижения (редукции) плазменной частоты.

Таким образом, задача сводится к нахождению R.

! $H_{1z}=0$ (т.к. пучок движется вдоль оси z, и эта магнитная составляющая не влияет на поток).

! Поток имеет осевую симметрию.

Тогда

$rot \vec{H_1}= \left| \begin{array}{ccc} \frac{1}{r}\vec{e_r} & \vec{e_{\phi}} & \frac{1}{r}\vec{e_z}\\ \frac{\partial}{\partial r}&i\beta &-i\beta \\ H_r& rH_{\phi} &0 \end{array}\right|=\{i\beta H_{\phi},-i\beta H_r,\frac{1}{r} ((rH_{\phi})'_r-i\beta H_r)\};$ $E_{1z}=i\frac{(\omega-\beta v_0)^2}{\omega \epsilon_0 \omega_p^2}j_{1z} ;$ $rot \vec{E_1}= \left| \begin{array}{ccc} \frac{1}{r}\vec{e_r} & \vec{e_{\phi}} & \frac{1}{r}\vec{e_z}\\ \frac{\partial}{\partial r}&in &-i\beta \\ E_r& rE_{\phi} &E_z \end{array}\right|=\{\frac{i}{r}(\beta r E_{\phi}+ nE_z),-i\beta E_r-\frac{\partial E_z}{\partial r},\frac{1}{r} ((rE_{\phi})'_r-in E_r)\}.$

Система примет вид

$\begin{cases} \beta H_{1\phi}=\omega \epsilon_0 E_{1r};\\ \beta H_{1r}=-\omega \epsilon_0 E_{1\phi};\\ (rH_{1\phi})'_r-i\beta H_{1r}=rE_{1z}i\omega \epsilon_0\left( 1-\frac{\omega_p^2}{(\omega -\beta v_0)^2} \right);\\ \frac{n}{r}E_{1z}+\beta E_{1\phi}=-\mu_0\omega H_{1r};\\ i\beta E_{1r}+\frac{\partial E_{1z}}{\partial r}=i\mu_0\omega H_{1\phi} ;\\ (rE_{\phi})'_r-in E_r=0. \end{cases}$

После простых подстановок можно получить уравнение Бесселя относительно $E_{1z}$ :

$\frac{\partial^2 E_{1z}}{\partial r^2}+\frac{1}{r} \frac{\partial E_{1z}}{\partial r}+\left(T^2-\frac{n^2}{r^2}\right) E_{1z}=0,$ $T^2=\left[\left(\frac{\omega}{c}\right)-\beta^2\right] \left(1-\frac{\beta_p^2}{(\beta_e-\beta)^2}\right),$ $c^2=\frac{1}{\epsilon_0 \mu_0}.$

Решение ищется в виде

$E_{1z}=AJ_n(Tr)+BN_n(Tr),$

где $J_n(x)$ — функция Бесселя, $N_n(x)$ — функция Неймана.

! $\left(\frac{\omega}{c}\right)^2<<\beta^2$ , т.е. $\beta \sim \beta_e=\frac{\omega}{v_0}$ , тогда R можно определить из:

$T^2=\beta\left(\frac{1}{R}-1\right).$

Т определяется из ГУ:

$\begin{array}{ccc} E_{1z}(Ta)=0; & E^I_{1z}(Tb)=E^{II}_{1z}(Tb);\\ H^I_{1\phi}(Tb)=H^{II}_{1\phi}(Tb); & \rho^{II}=\beta_p=0. \end{array}$