Нормальные моды колебаний

Рассмотрение нормальных мод колебаний начнём с простейшей колебательной системы – математического маятника. Уравнение его колебаний имеет вид

$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0,$

где $\omega_0^2 = g / l$ — собственная круговая частота колебаний. В этой системе реализуется только одна мода колебаний – маятник колеблется вблизи положения равновесия со своей собственной частотой.

Для демонстрации нескольких мод колебаний нужно усложнить систему. Возьмём два одинаковых маятника, повесим их рядом и свяжем их пружиной. Тогда их уравнения движения примут вид

$\begin{cases} \ddot{x}_1 + \omega_0^2 x_1 = -\frac{k}{m}(x_1-x_2) \\ \ddot{x}_2 + \omega_0^2 x_2 = -\frac{k}{m}(x_2-x_1) \end{cases}$

Произведём замену переменных для получения двух независимых ДУ:

$\xi = x_1 + x_2,\ \eta = x_1 - x_2,\ \omega_\xi^2 = \omega_0^2,\ \omega_\eta^2 = \omega_0^2 + \frac{2k}{m}.$

Имеем:

$\begin{cases} \ddot{\xi} + \omega_\xi^2\xi = 0 \\ \ddot{\eta} + \omega_\eta^2\eta = 0. \end{cases}$

Решение этой системы

$\xi = \xi_0\cos(\omega_\xi t + \varphi_\xi),\ \eta = \eta_0\cos(\omega_\eta t+ \varphi_\eta)$

называется модами нормальных колебаний.

Таким образом, модами нормальных колебаний называют независимые друг от друга колебания. Величины, относительно которых движение системы записывается в виде системы независимых линейных ДУ с постоянными коэффициентами называют нормальными координатами.

Основные свойства:

при возбуждении нормальной моды колебаний все компоненты системы колеблются с той же самой нормальной частотой;
нормальные моды никогда не обмениваются энергией друг с другом.

Уравнение движения связанных осцилляторов в форме нормальных колебаний

Рассмотрим снова обычный математический маятник и перепишем его уравнение движения в виде системы:

$\begin{cases} \dot{v}_1 = - \omega_1^2x_1, \\ \dot{x}_1=v_1 \quad\vert\quad\cdot i\omega_1, \end{cases}$

Сложим и вычтем эти уравнения друг из друга:

$(v_1 \pm i\omega_1x_1)'_t = \pm i\omega_1(v_1 \pm i\omega_1x_1)$

Введём новые переменные:

$a_1=C(v_1 + i\omega_1x_1),\ a^*_1=C(v_1 - i\omega_1x_1).$

В этих переменных система принимает вид

$\begin{cases} \dot{a}_1 = i\omega_1a_1; \\ \dot{a}^*_1 = - i\omega_1a^*_1. \end{cases}$

Постоянную $C$ выберем так, чтобы выполнялось условие

$E=|a_1|^2+|a^*_1|^2=\frac{mv_1^2}{2}+\frac{m\omega_1^2x_1^2}{2}.$

Подставляя значения для $a_1$ и $a_1^*$ в выражении для энергии, получим:

$2C^2(v_1^2+\omega_1^2x_1^2)=\frac{m}{2}(v_1^2+\omega_1^2x_1^2), \quad C=\frac{\sqrt{m}}{2},$

тогда

$a_1=\frac{\sqrt{m}}{2}(v_1 + i\omega_1x_1),\ a^*_1=\frac{\sqrt{m}}{2} (v_1 - i\omega_1x_1).$

Теперь проделаем то же самое для системы связанных маятников:

$\begin{cases} \dot{v}_1 = - \omega_1^2x_1 - \frac{k}{m}(x_1-x_2), \\ \dot{x}_1=v_1, \\ \dot{v}_2 = - \omega_2^2x_2 - \frac{k}{m}(x_2-x_1), \\ \dot{x}_2=v_2, \end{cases}$

аналогично получаем

$\begin{cases} (v_1 \pm i\omega_1x_1)'_t = \pm i\omega_1(v_1 \pm i \omega_1x_1)- \frac{k}{m}(x_1-x_2), \\ (v_2 \pm i\omega_2x_2)'_t = \pm i\omega_2(v_2 \pm i \omega_2x_2)- \frac{k}{m}(x_2-x_1). \end{cases}$

С учётом значений для $a_i, a_i^*\ (i=1,2)$ , система примет вид

$\begin{cases} \dot{a}_1 =c_{11}a_1+c_{12}a_2+c_{13}a_1^*+c_{14}a_2^*,\\ \dot{a}_2 =c_{21}a_1+c_{22}a_2+c_{23}a_1^*+c_{24}a_2^* ,\\ \dot{a}_1^*=c_{31}a_1+c_{32}a_2+c_{33}a_1^*+c_{34}a_2^* ,\\ \dot{a}_2^*=c_{41}a_1+c_{42}a_2+c_{43}a_1^*+c_{44}a_2^* , \end{cases}$

где $c_{ij}$ — коэффициенты связи колебаний:

$\begin{gathered} c_{11}=-c_{33}=i\omega_1+\frac{ik}{2m\omega_1},\\ c_{22}=-c_{44}=i\omega_2+\frac{ik}{2m\omega_2},\\ c_{12}=-c_{14}=c_{24}=c_{32}=-c_{34}=-c_{42}=-\frac{ik}{2m\omega_2},\\ c_{13}=c_{21}=-c_{23}=-c_{31}=c_{41}=-c_{43}=-\frac{ik}{2m\omega_1}. \end{gathered}$

Будем искать решение в виде:

$a_{1,2} = e^{i\omega t}, a_{1,2}^* = e^{-i\omega t}.$

Подставляя его в уравнение, получим

$(C - i\omega E') \cdot A = 0, e_{11}' = e_{22}' = -e_{33}' = -e_{44}' = 1.$

После нетрудных преобразований получим выражение:

$\omega^2 = \frac{\omega_1^2+\omega_2^2}{2}+\frac{k}{m}\pm \sqrt{\frac{(\omega_1^2-\omega_2^2)^2}{4}+\left(\frac{k}{m}\right)^2},$

а выражение для полной энергии

$E=\frac{mv_1^2}{2}+\frac{m\omega_1^2x_1^2}{2}+\frac{mv_2^2}{2}+ \frac{m\omega_2^2x_2^2}{2}+\frac{k}{m}(x_1-x_2)^2$

можно будет записать в виде

$E=\left(|a_1|^2 + |a^*_1|^2\right) + \left(|a_2|^2 + |a^*_2|^2\right) - \frac{k}{2m}\left(\frac{a_1-a_1^*}{\omega_1}- \frac{a_2-a_2^*}{\omega_2}\right)^2,$

где первые две скобки есть сумма энергий изолированных систем, а пятое слагаемое — энергия, обусловленная связью двух систем.

В теории связанных колебаний вводится понятие коэффициента передачи между $i$ и $j$ -м колебаниями:

$F_{ij} = \left[1+\left(\frac{c_{ii}-c_{jj}}{2}\right)^2\frac{1}{c_{ij} c_{ji}}\right]^{-1}.$

Если $F_{ij} \ll 1$ , то связью $i$ и $j$ -го колебаний можно пренебречь и положить $c_{ij} = 0$ . Этому случаю соответствует условие

$\omega_1 \approx \omega_2,\ \frac{k}{2m} \ll \omega_1\omega_2.$

Несложно показать, что

$F_{12} = F_{34} = 1, F_{13} = F_{14} = F_{23} = F_{24} \to 0,$

тогда система примет вид:

$\begin{cases} \dot{a}_1 = c_{11}a_1 + c_{12}a_2,\\ \dot{a}_2 = c_{21}a_1 + c_{22}a_2,\\ \dot{a}_1^* = c_{33}a_1^* + c_{34}a_2^* ,\\ \dot{a}_2^* = c_{43}a_1^* + c_{44}a_2^* , \end{cases}$

где два последних уравнения избыточны. Остаётся

$\begin{cases} \dot{a}_1 = c_{11}a_1 + c_{12}a_2,\\ \dot{a}_2 = c_{21}a_1 + c_{22}a_2.\\ \end{cases}$

Опять же будем искать решение в виде

$a_{1,2}=a_{1,2}(0)e^{i\omega t}.$

Решение системы существует, если

$\begin{vmatrix} c_{11}-i\omega & c_{12}\\ c_{21} & c_{22}-i\omega \end{vmatrix} =0,$

откуда

$\omega_{a,b} \approx \frac{\omega_1+\omega_2}{2}+ \frac{k}{2m\sqrt{\omega_1\omega_2}}\pm \sqrt{\frac{(\omega_1-\omega_2)^2}{4}+ \frac{k^2}{4m^2\omega_1\omega_2}},$ $\begin{aligned} a_1(t) = & C_1e^{i\omega_a t}+C_2e^{i\omega_b t},\\ a_2(t) = & \frac{2m\omega_2}{k}\left( C_1e^{i\omega_a t}\left[\omega_1+\frac{k}{2m\omega_1}-\omega_a\right]+ C_2e^{i\omega_b t}\left[\omega_1+\frac{k}{2m\omega_1}-\omega_b\right] \right). \end{aligned}$

Порядок решения задач

Рассмотреть изолированные системы — записать нормальные моды $a_1, a_2$ .
Записать совместную систему — найти $c_{ij}$ .
Найти $F_{ij}$ , оценив его малость — занулить соответствующие $c_{ij}$ .
Упростить систему.
Положив $det = 0$ , найти $\omega_{a,b}$ .
Найти $C_1, C_2$ .
Записать решение в виде $a_{1,2}(t)$ или через полную энергию системы Е.