Волны пространственного заряда в замедляющей структуре

Рассмотрим электронный поток в замедляющей структуре, точнее взаимодействие волн структуры с волнами пространственного заряда. Чтобы пренебречь взаимодействием с циклотронными волнами поместим систему в достаточно большое продольное магнитное поле. Схема и картина поля представлена на рисунке.

Электронный поток в поле замедляющей структуры. Линии электрического поля сплошные, магнитного -- штриховые

Введём следующие обозначения:

$a_{1+}$ и $a_{1-}$ – прямая и обратная волны структуры,
$a_{2+}$ и $a_{2-}$ – прямая и обратная волны пространственного заряда.

Эквивалентная схема имеет вид:

Обозначения не соответствуют принятым в тексте

Выпишем телеграфные уравнения для волны структуры с частотой $\omega$ :

$\begin{cases} \frac{dU_1}{dz} = -i\omega L I_1,\\ \frac{dI_1}{dz} = -i\omega C U_1 - \frac{dI_2}{dz}. \end{cases}$

Здесь учтен ток, создаваемый электронным потоком. Для электронного потока имеем

$\begin{cases} \left(\frac{d}{dz} + i\beta_e\right)U_2 = -i \beta_q Z_2 I_2 + \frac{dU_1}{dz},\\ \left(\frac{d}{dz} + i\beta_e\right)I_2 = -i \frac{\beta_q}{Z_2}U_2. \end{cases}$

Связанные волны имеют вид

$\begin{aligned} & a_{1\pm} = \frac{1}{4\sqrt{Z_1}}(U_1\pm Z_1I_1), & a_{2\pm} = \frac{1}{4\sqrt{Z_2}}(U_2\pm Z_2(-I_2)), \end{aligned}$

где

$Z_1 = \sqrt{\frac{L}{C}},\quad Z_2 = \frac{2U_0}{|I_0|}\frac{\omega_q}{\omega}.$

Выражая токи и напряжения через связанные волны, получаем систему

$\begin{cases} \left(\frac{d}{dz} \pm i\beta\right)a_{1\pm} = \mp\frac{1}{2}\sqrt{\frac{Z_1}{Z_2}}\frac{d}{dz}(a_{2-} - a_{2+}),\\ \left(\frac{d}{dz} + i(\beta_e\mp\beta_q)\right)a_{2\pm} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{Z_1}{Z_2}}\frac{d}{dz}(a_{1+} + a_{1-}). \end{cases}$

Решение этих уравнений ищется в виде $e^{\gamma z}$ , где в силу слабой связи между пучком и структурой можно представить $\gamma = -i\beta_e(1+iC\delta)$ , где $C$ определяет степень связи волн. $\beta = \beta_e(1+Cb)$ , $C \approx 0.01$ , $-5 < b < 5$ , поэтому производные в правой части можно заменить на $-i\beta_e$ , получив при этом систему

$\begin{cases} \left(\frac{d}{dz} \pm i\beta\right)a_{1\pm} = \mp c_{12}(a_{2-} - a_{2+}),\\ \left(\frac{d}{dz} + i(\beta_e\mp\beta_q)\right)a_{2\pm} = -c_{12}(a_{1+} + a_{1-}), \end{cases}$

где

$c_{12} = \frac{i}{2}\sqrt{\frac{Z_1}{Z_2}}\beta_e,\quad \beta \approx \beta_e.$

Для удобства вводятся 2 параметра (параметры Пирса):

параметр усиления $C$ , определяемый из соотношения

$4C^3 = \frac{Z_1|I_0|}{U_0},$

параметр пространственного заряда $\sqrt{4QC} = \omega_q / (C\omega)$ .

Используя эти параметры коэффициент $c_{12}$ можно записать в виде

$c_{12} = i\beta_e\frac{C}{2\sqrt[4]{QC}}.$

Окончательно, система имеет вид:

$\begin{cases} \frac{d}{dz} a_{1+} = -i\beta a_{1+} - c_{12}a_{2+} + c_{12}a_{2-},\\ \frac{d}{dz} a_{1-} = i\beta a_{1-} + c_{12}a_{2+} - c_{12}a_{2-},\\ \frac{d}{dz} a_{2+} = -c_{12} a_{1+} - c_{12}a_{1-} - i(\beta_e - \beta_q)a_{2+},\\ \frac{d}{dz} a_{2-} = -c_{12} a_{1+} - c_{12}a_{1-} - i(\beta_e + \beta_q)a_{2-}. \end{cases}$

Прежде чем конкретизировать уравнения, рассмотрим теорему Чу. Теорема заключается в том, что полная переносимая мощность постоянна по всей длине системы: $P = const$ .

Доказательство крайне простое: так как связь слабая, то полную переносимую мощность можно рассматривать как суммарную мощность 4 волн (с учётом направления):

$P = 2(|a_{1+}|^2 - |a_{1-}|^2 + |a_{2+}|^2 - |a_{2-}|^2).$

Выписав выражение для производной от мощности и подставив производные из системы, получим, что производная равна нулю.