Лампа бегущей волны О-типа

Общий случай ЛБВО

Рассмотрим подробнее полученную ранее систему:

$\begin{cases} \frac{d}{dz} a_{1+} = -i\beta a_{1+} - c_{12}a_{2+} + c_{12}a_{2-},\\ \frac{d}{dz} a_{1-} = i\beta a_{1-} + c_{12}a_{2+} - c_{12}a_{2-},\\ \frac{d}{dz} a_{2+} = -c_{12} a_{1+} - c_{12}a_{1-} - i(\beta_e - \beta_q)a_{2+},\\ \frac{d}{dz} a_{2-} = -c_{12} a_{1+} - c_{12}a_{1-} - i(\beta_e + \beta_q)a_{2-}. \end{cases}$

Определим для неё коэффициенты связи $F_{ij}$ : $F_{1+,2\pm} = \left[1 \mp \frac{(-i\beta + i(\beta_e \mp \beta_q))^2}{4 c_{12}^2}\right]^{-1} = \left[1 \pm \frac{\sqrt{4QC}}{2}(b\pm\sqrt{4QC})^2\right]^{-1},$ $F_{1-,2\pm} = \left[1 \mp \frac{2\sqrt{4QC}}{C^2}\right]^{-1} \ll 1.$

Следовательно, связью с обратной волной системы можно пренебречь и упростить систему:

$\begin{cases} \frac{d}{dz} a_{1+} = -i\beta a_{1+} - c_{12}a_{2+} + c_{12}a_{2-},\\ \frac{d}{dz} a_{2+} = -c_{12} a_{1+} - i(\beta_e - \beta_q)a_{2+},\\ \frac{d}{dz} a_{2-} = -c_{12} a_{1+} - i(\beta_e + \beta_q)a_{2-}. \end{cases}$

Если переписать это в матричном виде, то получим

$\frac{da}{dz} = \begin{pmatrix} -i\beta & -c_{12} & c_{12} \\ -c_{12} & -i\beta_e(1-C\sqrt{4QC}) & 0 \\ -c_{12} & 0 & -i\beta_e(1+C\sqrt{4QC}) \end{pmatrix} a,$ $\frac{da}{dz}= -i\beta_e\begin{pmatrix} 1+Cb & \xi & -\xi \\ \xi & 1-C\sqrt{4QC} & 0 \\ \xi & 0 & 1+C\sqrt{4QC} \end{pmatrix} a,$

где $\xi = \frac{C}{2\sqrt[4]{QC}}$ .

Будем искать собственные значения этой матрицы в виде $-i\beta_e(1+iC\delta)$ :

$\begin{vmatrix} C(b-i\delta) & \xi & -\xi \\ \xi & -C(\sqrt{4QC}+i\delta) & 0 \\ \xi & 0 & C(\sqrt{4QC}-i\delta) \end{vmatrix} = 0,$ $-C^3(b-i\delta)(4QC+\delta^2) - C\xi^2(\sqrt{4QC}+i\delta) - C\xi^2(\sqrt{4QC}-i\delta) = 0,$ $C^2(b-i\delta)(4QC+\delta^2) + 2\xi^2\sqrt{4QC} = 0,$ $(b-i\delta)(4QC+\delta^2) + 1 = 0.$

Решение кубического уравнения получется довольно громоздким, поэтому рассмотрим его графическое решение ( $\delta = x + iy$ ):

Постоянные распространения нормальных волн ЛБВ при QC = 0,25

Случай больших QC

В случае больших QC коэффициенты связи одноврененно не обращаются в ноль, если $b \approx \pm\sqrt{4QC}$ , причём ЛБВО соответствует случай $b \approx \sqrt{4QC}$ . При этом $F_{1+,2+} \ll 1$ и взаимодействием с быстрой волной можно пренебречь. При этом система упрощается:

$\frac{da}{dz}= -i\beta_e\begin{pmatrix} 1+Cb & -\xi \\ \xi & 1+C\sqrt{4QC} \end{pmatrix} a.$

Собственные значения в том же виде $-i\beta_e(1+iC\delta)$ приводят к уравнению

$\begin{vmatrix} C(b-i\delta) & -\xi \\ \xi & C(\sqrt{4QC}-i\delta) \end{vmatrix} = 0,$ $(b-i\delta)(\sqrt{4QC}-i\delta) + \frac{1}{2\sqrt{4QC}} = 0,$ $\delta^2 + i(b + \sqrt{4QC})\delta - b\sqrt{4QC} - \frac{1}{2\sqrt{4QC}} = 0.$

Его решения

$\delta_{1,2} = -i\frac{b+\sqrt{4QC}}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{2\sqrt{4QC}} - \left(\frac{b-\sqrt{4QC}}{2}\right)^2} = -i\delta'' \pm \delta'.$

Обозначив $\gamma_{1,2} = i\beta_e(1+iC\delta_{1,2})$ имеем

$\begin{aligned} & a_{1+} = c_1e^{-\gamma_1z} + c_2e^{-\gamma_2z},\\ & a_{2-} = c_3e^{-\gamma_1z} + c_4e^{-\gamma_2z},\\ \end{aligned}$

где $(c_1, c_3)$ и $(c_2, c_4)$ – собственные векторы матрицы. Следовательно,

$\begin{aligned} & с_3 = \frac{C(b-i\delta_1)}{\xi}c_1 = 2\sqrt[4]{QC}(b-i\delta_1)c_1,\\ & с_4 = 2\sqrt[4]{QC}(b-i\delta_2)c_2. \end{aligned}$

Теперь учтём ГУ. В систему вводится СВЧ-энергия, которая взаимодействует с потоком, поэтому для удобства примем

$a_{1+}(0) = \frac{1}{\sqrt{2}},\quad a_{2-}(0) = 0.$

Отсюда

$\begin{cases} c_1 + c_2 = 1/\sqrt{2},\\ (b-i\delta_1)c_1 + (b-i\delta_2)c_2 = 0. \end{cases}$

Решая эту систему, получаем

$c_1 = -\frac{b-i\delta_2}{i(\delta_2-\delta_1)\sqrt{2}} = \frac{b - \delta'' + i\delta'}{2i\delta'\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(1 - i\frac{b-\delta''}{\delta'}\right),$ $c_2 = \frac{b-i\delta_1}{i(\delta_2-\delta_1)\sqrt{2}} = -\frac{b-\delta'' -i\delta'}{2i\delta'\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(1 + i\frac{b-\delta''}{\delta'}\right).$

Для амплитуды ЭМ волны получаем

$a_{1+}(z) = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\left(1 - i\frac{b-\delta''}{\delta'}\right)e^{C\beta_e\delta' z} e^{-i\beta_e (1 + C\delta'') z} + \left(1 + i\frac{b-\delta''}{\delta'}\right)e^{-C\beta_e\delta' z} e^{-i\beta_e (1 + C\delta'') z}\right],$ $a_{1+}(z) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\cosh(C\beta_e\delta' z) - i\frac{b-\delta''}{\delta'}\sinh(C\beta_e\delta' z) \right]e^{-i\beta_e (1 + C\delta'') z},$

а для мощности

$P_{1+} = 2|a_{1+}|^2 = \left\{1 + \left[1+\left(\frac{b-\delta''}{\delta'}\right)^2\right]\sinh^2(C\beta_e\delta' z) \right\}.$

Нетрудно видеть, что мощность растёт, то есть волна отбирает энергию у электронного потока.

Зависимость переносимой мощности от координаты