Преобразователь Компфнера

Теперь рассмотрим случай $b \approx -\sqrt{4QC}$ . В этом случае прямая волна структуры взаимодействует с быстрой волной пространственного заряда. Система принимает вид:

$\frac{da}{dz}= -i\beta_e\begin{pmatrix} 1+Cb & \xi \\ \xi & 1-C\sqrt{4QC} \end{pmatrix} a.$

Снова ищем собственные значения в том же виде:

$\begin{vmatrix} C(b-i\delta) & -\xi \\ \xi & -C(\sqrt{4QC}+i\delta) \end{vmatrix} = 0,$ $C^2(b-i\delta)(\sqrt{4QC}+i\delta) + \xi^2 = 0,$ $\delta^2 + i(b-\sqrt{4QC})\delta + b\sqrt{4QC} + \frac{1}{2\sqrt{4QC}} = 0,$ $\delta_{1,2} = -i\left[ \frac{b-\sqrt{4QC}}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{2\sqrt{4QC}} + \left(\frac{b+\sqrt{4QC}}{2}\right)^2} \right] = -i(\delta' \pm \delta'').$

Решение имеет вид

$a = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_3 \end{pmatrix} e^{-i\beta_e(1+iC\delta_1)z} + \begin{pmatrix} c_2 \\ c_4 \end{pmatrix} e^{-i\beta_e(1+iC\delta_2)z}$

где как и раньше $(c_1, c_3)$ и $(c_2, c_4)$ – собственные векторы:

$\begin{aligned} & c_3 = -\frac{C(b-i\delta_1)}{\xi} = -2\sqrt[4]{QC}(b-i\delta_1)c_1, & c_4 = -\frac{C(b-i\delta_2)}{\xi} = -2\sqrt[4]{QC}(b-i\delta_2)c_2. \end{aligned}$

Теперь снова ГУ:

$a_{1+}(0) = \frac{1}{\sqrt{2}},\quad a_{2+}(0) = 0,$ $\begin{cases} c_1 + c_2 = 1/\sqrt{2},\\ (b-i\delta_1)c_1 + (b-i\delta_2)c_2 = 0,\\ \end{cases}$ $c_1 = -\frac{b-i\delta_2}{i(\delta_2-\delta_1)\sqrt{2}} = \frac{b-(\delta'-\delta'')}{2\delta''\sqrt{2}},$ $c_2 = \frac{b-i\delta_1}{i(\delta_2-\delta_1)\sqrt{2}} = -\frac{b-(\delta'+\delta'')}{2\delta''\sqrt{2}}.$

Волна структуры имеет вид

$a_{1+} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{b-(\delta'-\delta'')}{\delta''}e^{-i\beta_e(1+C(\delta' + \delta''))z} - \frac{b-(\delta'+\delta'')}{\delta''}e^{-i\beta_e(1+C(\delta' - \delta''))z}\right],$ $a_{1+} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\left(1 + \frac{b-\delta'}{\delta''}\right)e^{-i\beta_eC\delta''z} + \left(1 - \frac{b-\delta'}{\delta''}\right)e^{i\beta_eC\delta''z}\right]e^{-i\beta_e(1+C\delta')z},$ $a_{1+} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\cos(\beta_eC\delta''z) + i \frac{b-\delta'}{\delta''}\sin(\beta_eC\delta''z)\right]e^{-i\beta_e(1+C\delta')z},$

Мощность в волне

$P_{1+}(z) = 2|a_{1+}|^2 = \cos^2(\beta_eC\delta''z) + \left(\frac{b-\delta'}{\delta''}\right)^2\sin^2(\beta_eC\delta''z) = 1 + \frac{(b-i\delta_1)(b-i\delta_2)}{\delta''^2}\sin^2(\beta_eC\delta''z).$

Подставим выражения для этих коэффициентов и получим в итоге

$P_{1+}(z) = 1 - \frac{\sin^2(\beta_eC\delta''z)}{1 + 2\sqrt{4QC}\left(\frac{b+\sqrt{4QC}}{2}\right)^2}.$