Лампа обратной волны

В случае ЛБВ и преобразователя Компфнера рассматривалось взаимодействие волн пространственного заряда с низшими волнами структуры. У этих волн фазовая и групповая скорости сонаправлены. Однако, это не единственные волны структуры. Среди них есть также волны, у которых фазовая и групповая скорости направлены в противоположные стороны. На взаимодействии электронного потока с такими волнами построен принцип действия лампы обратной волны.

С точки зрения уравнений для рассмотрения этих волн нужно изменить знак постоянной распространения у волн структуры $\beta \to -\beta$ :

$\begin{cases} \frac{d}{dz} a_{1+} = i\beta a_{1+} - c_{12}a_{2+} + c_{12}a_{2-},\\ \frac{d}{dz} a_{1-} = -i\beta a_{1-} + c_{12}a_{2+} - c_{12}a_{2-},\\ \frac{d}{dz} a_{2+} = -c_{12} a_{1+} - c_{12}a_{1-} - i(\beta_e - \beta_q)a_{2+},\\ \frac{d}{dz} a_{2-} = -c_{12} a_{1+} - c_{12}a_{1-} - i(\beta_e + \beta_q)a_{2-}. \end{cases}$

Определим для этой системы коэффициенты связи $F_{ij}$ : $F_{1+,2\pm} = \left[1 \mp \frac{(i\beta + i(\beta_e \mp \beta_q))^2}{4 c_{12}^2}\right]^{-1} = \left[1 \pm \frac{2\sqrt{4QC}}{C^2}\right]^{-1} \ll 1,$ $F_{1-,2\pm} = \left[1 \mp \frac{\sqrt{4QC}}{2}(b\pm\sqrt{4QC})^2\right]^{-1}.$

Рассмотрим снова случай больших QC. Нас интересует взаимодействие медленной волны пространственного заряда с обратной волной структуры, поэтому $b \approx \sqrt{4QC}$ , так как в этом случае $F_{1-, 2-} \approx 1,\ F_{1-, 2+} \ll 1$ .

Укорачивая систему, получаем

$\frac{da}{dz}= -i\beta_e\begin{pmatrix} 1+Cb & \xi \\ \xi & 1+C\sqrt{4QC} \end{pmatrix} a,$

Снова ищем $\delta$ :

$\begin{vmatrix} C(b-i\delta) & \xi \\ \xi & C(\sqrt{4QC}-i\delta) \end{vmatrix} = 0,$ $C^2(b-i\delta)(\sqrt{4QC}-i\delta) - \xi^2 = 0,$ $\delta^2 + i(b+\sqrt{4QC}) - b\sqrt{4QC} + \frac{1}{2\sqrt{4QC}} = 0,$ $\delta_{1,2} = -i\left(\frac{b+\sqrt{4QC}}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{2\sqrt{4QC}} + \left(\frac{b-\sqrt{4QC}}{2}\right)^2}\right) = -i(\delta'\pm\delta'').$

Решение имеет вид

$a = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_3 \end{pmatrix} e^{-i\beta_e(1+C(\delta'+\delta''))z} + \begin{pmatrix} c_2 \\ c_4 \end{pmatrix} e^{-i\beta_e(1+C(\delta'-\delta''))z} =\left[ \begin{pmatrix} c_1 \\ c_3 \end{pmatrix} e^{-i\beta_eC\delta''z} + \begin{pmatrix} c_2 \\ c_4 \end{pmatrix} e^{i\beta_eC\delta''z} \right]e^{-i\beta_e(1+C\delta')z},$ $\begin{aligned} & c_3 = -\frac{C(b-i\delta_1)}{\xi} = -2\sqrt[4]{QC}(b-\delta'-\delta'')c_1,\\ & c_4 = -\frac{C(b-i\delta_2)}{\xi} = -2\sqrt[4]{QC}(b-\delta'+\delta'')c_2. \end{aligned}$

Теперь граничные условия. Мощность вводится в структуру на её конце, поэтому

$a_{1-}(l) = \frac{1}{\sqrt{2}},\quad a_{2-}(0) = 0,$ $\begin{cases} c_1e^{-i\beta_eC\delta''l} + c_2e^{i\beta_eC\delta''l} = e^{i\beta_e(1+C\delta')l}/\sqrt{2},\\ (b-\delta'-\delta'')c_1 + (b-\delta'+\delta'')c_2 = 0,\\ \end{cases}$ $c_1 = \frac{(b-\delta'+\delta'')e^{i\beta_e(1+C\delta')l}}{\sqrt{2} ((b-\delta'+\delta'')e^{-i\beta_eC\delta''l} - (b-\delta'-\delta'')e^{i\beta_eC\delta''l})}= \frac{(b-\delta'+\delta'')e^{i\beta_e(1+C\delta')l}}{2\sqrt{2} (\delta''\cos(\beta_eC\delta''l)-i(b-\delta')\sin(\beta_eC\delta''l))}$ $c_2 = -\frac{(b-\delta'-\delta'')e^{i\beta_e(1+C\delta')l}}{2\sqrt{2} (\delta''\cos(\beta_eC\delta''l)-i(b-\delta')\sin(\beta_eC\delta''l))}$

Амплитуда обратной волны

$a_{1-}(z) = \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta''\cos(\beta_eC\delta''z)-i(b-\delta')\sin(\beta_eC\delta''z)}{\delta''\cos(\beta_eC\delta''l)-i(b-\delta')\sin(\beta_eC\delta''l)}e^{-i\beta_e(1+C\delta')(z-l)}$

Мощность, переносимая волной структуры против направлениия оси z равна

$P_{1-} = 2|a_{1-}|^2 = \frac{\delta''^2\cos^2(\beta_eC\delta''z)+(b-\delta')^2\sin^2(\beta_eC\delta''z)}{\delta''^2\cos^2(\beta_eC\delta''l)+(b-\delta')^2\sin^2(\beta_eC\delta''l)}$ $P_{1-} = \frac{1 - F\sin^2(\beta_eC\delta''z)}{1 - F\sin^2(\beta_eC\delta''l)}.$

Зависимость переносимой мощности от координаты