Возбуждение объёмных резонаторов

Пусть поле резонатора занимает конечный объём $V$ и не проникает за пределы некоторой замкнутой поверхности $S$ (на ней поле уже обращается в ноль). Собственные моды резонатора для заданной геометрии можно считать известными:

Задача состоит в определении полей, создаваемых в резонаторе известным током $\vec{j}$.

Далее все действия разворачиваются в поле комплексных амплитуд. Покажем для начала, что собственные моды ортогональны:

Начнём с уравнений Максвелла

Выполнив замену идексов и сопряжение, получим

Интегралы от левых частей по объему $V$ равны нулю, так как поле на поверхности $S$ обращается в ноль. Поэтому

В случае невырожденных колебаний эта система равенств эквивалентна

В случае вырожденных колебаний среди колебаний с одинаковой частотой всегда можно выбрать ортогональную систему.

Рассмотрим теперь возбуждение резонатора электронным потоком с частотой $\omega$. Уравнения Максвелла имеют вид

а решение будем искать в виде разложения по собственным колебаниям резонатора:

где потенциал $\phi$ учитывает поле потока. Подставим и получим:

Теперь воспользуемся ортогональностью собственных мод резонатора:

Заметим, что

В итоге получаем систему

из которой имеем

Введём обозначение

тогда

Также можно ввести величины $\omega_{-n} = -\omega_n$,

при помощи которых можно представить $A_n$ и $B_n$ в виде

Пусть теперь $\vec{j}(\omega)$ медленно меняется со временем. Тогда коэффициенты разложения становятся функциями времени:

Вычитая из первого уравнения второе, получим

Это уравнение называется уравнением возбуждения резонаторов.