Элементарная теория магнетрона

Рассмотрим вместо круглого магнетрона его упрощённый линейный аналог – планотрон.

Считем, что поле $\vec{B} \parallel \vec{e}_z$ перпендикулярно плоскости рисунка, а $\vec{E} \perp \vec{e}_z$, то есть лежит в плоскости рисунка и имеет компоненты $E_x$ и $E_y$.

В данном подходе не учитывается поле пространственного заряда. Запишем уравнения движения электронов:

Будем считать, что поле системы меняется медленно, по сравнению с циклотронной частотой: $\omega \ll \omega_c = eB/m = -qB/m$. Введём следующие обозначения

Решая это уравнение, получаем:

Частицы движутся по окружностям, центры которых движутся по траекториям

а радиус определяется начальной скоростью и при нулевой равен

Отсюда получаем ограничение на поля, при которых поток не оседает на структуре:

Теперь учтём высокочастотное поле замедляющей системы:

Нетрудно видеть, что

Рассматривать движение будем также в дрейфовом приближении:

Рассмотрим случай синхронизма:

Считая скорости малыми по сравнению со скоростью света, воспользовавшись преобразоваями Галиллея, перейдём в СО, движущуюся вместе с волной:

Заметим, что $\vec{v}'\cdot\nabla'\phi' = 0$, то есть электроны движутся вдоль эквипотенциалей, их траектории описываются уравнениями

Рассмотрим траектории подробнее.

Видно, что электроны из $(-\pi/2, \pi/2)$ образуют спицу,а из $(\pi/2, 3\pi/2)$ – возвращаются на катод. При этом наблюдается автофазировка – отдающие энергию электроны летят к аноду, а отбирающие – возвращаются на катод.

В этой модели можно оценить электронный (анодный) КПД – долю потребляемой энергии, которую электроны могут передать колебаниям. Из-за того, что центры движутся по эквипотенциалям, энергия, получаемая из постоянного внешнего поля полностью передаётся высокочастотным колебаниям. Так как центры окружностей движутся между плоскостями $y = R$ и $y = d-R$, то

Рассмотрим теперь случай рассинхронизма. При этом остаётся остаточное поле, которое сносит поток вдоль оси х. Это выхывает уменьшение электронного КПД магнетрона.