Численное интегрирование: tanh-sinh

Общие соображения

Пусть подынтегральная функция непрерывна на промежутке интегрирования $[a, b]$ вместе со своими $2m+2$ производными. Воспользуемся формулой Эйлера-Маклорена:

где $h = (b - a) / n,\ x_j = a + jh$, $B_{2i}$ – числа Бернулли, а остаточный член $E(h, m)$ имеет вид

Если функция $f$ достаточно быстро стремится к нулю на концах интервала вместе со всеми своими $2m + 2$ производными, то формула упрощается:

Основная проблема заключается в том, что подынтегральная функция редко удовлетворяет этим условиям. Но мы можем ей с этим помочь.

Без потери общности рассмотрим интеграл на отрезке $[-1, 1]$:

Теперь выполним замену переменной $x = g(t)$, причем функцию $g(t)$ выберем так, чтобы $g(-\infty) = -1,\ g(\infty) = 1$ и она достаточно быстро стремилась к нулю со всеми своими производными при $t \to \infty$. Тогда

В качестве функции $g(t)$ обычно выбирают $\tanh(\frac{\pi}{2}\sinh(t))$ или $\mathrm{erf}(t)$ для интегрирования на конечном интервале и $\sinh(\sinh(t))$ для несобственных интегралов.

tanh-sinh

В методе tanh-sinh

а выражение для интеграла принимает вид

Так как веса $w_j$ достаточно быстро убывают с ростом $j$, то ряд можно обрезать условием $jh \le 10$.