Численное интегрирование: адаптивные методы

Ранее я описывал методы численного интегрирования, которые сводились к приближению искомой функции многочленом и интегрированию этого многочлена. Точность в них увеличивалась засчёт увеличения числа узлов интерполяции. Но это не единственный способ увеличить точность.

Другим подходом к увеличению точности выступает разбиение промежутка интегрирования на меньшие частии применение квадратур уже к ним. Замечено, что чем меньше длина шага интегрирования – одного такого подпромежутка – тем выше точность. Поэтому уже не обязательно использовать большое число точек. Наиболее употребительными являются методы прямоугольников, трапеций и парабол.

Метод прямоугольников

Суть его заключается в следующем: на каждом отрезке подынтегральная функция $f(x)$ приближается функцией $f_i(x) = f(x_i) = const$ , где точка $x_i$ – внутренняя точка $i$ -го промежутка. В зависимости от выбора этой точки различают:

левые прямоугольники, когда она совпадает с левым концом промежутка
центральные прямоугольники, когда она делит промежуток пополам
правые прямоугольники, когда она самая правая

Формула простая до безобразия:

$I = \int\limits_a^b f(x)\,dx \approx h\sum_i f(x_i),$

где $h$ – длина шага.

Метод трапеций

Всё то же самое, только

$f_i(x) = k_ix + b_i,\ f_i(x_i) = f(x_i),\ f_i(x_{i+1}) = f(x_{i+1}),$

где $x_i$ – левые концы интервалов. Для значения интеграла получаем

$I = \int\limits_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\sum_i [f(x_i) + f(x_{i+1})] = h\sum_{i=1}^{n-1} + \frac{h}{2}[f(x_0) + f(x_n)].$

Метод парабол

$f_i(x) = a_ix^2 + b_ix + c_i, \ f_i(x_i) = f(x_i), \ f_i(x_i + h/2) = f(x_i + h/2), \ f_i(x_{i+1}) = f(x_{i+1}),$ $I = \int\limits_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{6}\sum_i [f(x_i) + 4f(x_i + h/2) + f(x_{i+1})].$

Есть мнение…

Логичнее использовать на каждом шаге формулу Гаусса, так как она точнее, а веса и корни можно посчитать один раз и дальше просто искать суммы.